Мы уже говорили выше (гл. III, § 1) о математических познаниях вавилонян и о коренном отличии от вавилонской математики самых первых шагов, сделанных греками. Египетские и вавилонские математические тексты никогда не содержат доказательств. Перед нами задачи и рецепты их решения, и в этом заключается принципиальное отличие математических познаний народов Древнего Востока от греческой математики.1 В египетских математических текстах, в отличие от вавилонских, нет и задач, которые бы не вытекали непосредственно из практических потребностей.2
Таким образом, мы считаем, что правы те, кто доказывает, что математика как наука появляется только в Греции.3 Совершенно не убедительной является попытка Зейденберга усмотреть дедуктивный метод в рецептах построения геометрических фигур, необходимых для ритуально корректного сооружения алтарей, в рецептах, которые мы находим
в индийских «Сульвасутрах» Апастамбы и Баудхаяны, причем спорна также и датировка этих памятников.4
Первые в истории человечества доказательства математических положений, в данном случае геометрических теорем, наш надежнейший источник по ранней истории греческой математики — ученик Аристотеля Евдем Родосский — приписывает Фалесу. Евдем использовал, судя по всему, древнейшее доксографическое сочинение софиста Гиппия, который и сам занимался математикой.5
Как утверждает Евдем, Фалес доказал следующие теоремы:
- о том, что круг делится диаметром на две равные части;
- о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника;
- о равенстве треугольников, у которых равны основание и прилежащие к нему углы (11 А 20 DK = Eud. fr. 134 Wehrli).
По словам того же Евдема, Фалес установил также равенство вертикальных углов, хотя доказательство этого предложения было дано только Евклидом (11 А 20 DK = Eud. fr. 135 Wehrli). Наконец, по свидетельству Памфилы, Фалес первый вписал прямоугольный треугольник в окружность (D. L. I, 24).
У нас нет достаточных оснований сомневаться в том, что именно Фалес совершил эту революцию в человеческом мышлении.6 Неубедительна, в частности, аргументация Дикса, который с большей систематичностью, чем другие скептики, подобрал доводы, имеющие целью подорвать доверие к традиции о Фалесе.7 В частности, недостаточны общие соображения Дикса против возможности использования Проклом непосредственно сочинения Евдема Родосского.8 Во всяком случае, Симпликий неоднократно цитировал работы Евдема по истории математики, в частности, обширный фрагмент из его «Истории геометрии» о квадратуре луночек Гиппократа Хиосского (fr. 140 Wehrli). Если оспа-
4 Seidenberg А. 1)The ritual origin of mathematics//AHES. 1978. Vol. 18.N4.P. 301-342; ср.: 2) Did Euclid's Elements, Book I, develop geometry axiomatically? // Ibid. 1975. Vol. 14. N. 4. P. 286 ff. — Не может иметь значения для решения вопроса о появлении в Греции дедуктивной математики неубедительная и сама по себе гипотеза Зейденберга о близости источника греческой математики к индийской математике ведийской эпохи.
риваемые Диксом математические открытия Фалеса известны нам через посредство поздних источников, то здесь следует вспомнить, что авторы типа Прокла и Симпликия вообще являются нашим основным непосредственным источником по истории греческой математики до Евклида.
Дикс односторонне характеризует раннюю (до 320 г. до н. э.) традицию о Фалесе, утверждая, что она рисует его прежде всего как «practical man of affairs» (практического, делового человека).9 Те самые свидетельства Аристофана, на отсутствие которых в собрании Дильса-Кранца жалуется Дике, характеризуют Фалеса не просто как умного и не всегда разборчивого в средствах человека:10 обращаясь к афинской театральной публике, Аристофан явно ожидает от нее ассоциации имени Фалеса с геометрическими построениями (Nub. 177-180; Αν. 999-1009).
Дикс прав, когда он говорит, что, поскольку Фалес ничего не писал, Евдем в некоторых случаях вынужден был прибегать к реконструкции его достижений.11 Однако это еще не доказывает того, что в распоряжении Евдема не могло быть надежной традиции о теоремах Фалеса.12 В пользу традиции говорит и отмеченный О. Бекером факт внутренней связи приписываемых Фалесу теорем: все они легко доказываются, если построить прямоугольник, вписанный в круг, и соединить его вершины диагоналями (Бекер называет это построение «основной фигурой Фалеса»).13
Не может быть также речи о том, что Фалес высказал вышеупомянутые геометрические предложения, а последующая традиция приписала ему их доказательство. В самом деле, признак равенства треугольников, сформулированный Фалесом, принадлежит к числу наглядно очевидных истин, так что речь может идти только о нахождении Фалесом доказательства.14 То же справедливо и для теоремы о том, что диаметр делит круг на две равные части.15 Что же касается теоремы о том, что
угол, опирающийся на диаметр, непременно прямой, то здесь самый геометрический факт естественнее всего мог сделаться известным именно в результате соответствующего доказательства.16
Нужно также помнить о том, что без доказательства теорем, приписываемых Евдемом Фалесу, вообще невозможно дальнейшее построение геометрии. Всякая попытка оспаривать сведения Евдема приведет к необходимости постулировать, вопреки традиции, доказательство первых теорем либо Пифагором, либо его ближайшими учениками, либо каким-то неизвестным предшественником Пифагора, о котором Евдем не сумел дознаться.
Таким образом, Фалес совершил подлинную революцию в формах человеческого познания, причем революция эта была двоякой: во-первых, он понял необходимость или, по крайней мере, желательность доказательства этих, кажущихся самоочевидными геометрических предложений и, во-вторых, провел эти доказательства, пусть даже и не с Евклидовой строгостью.17
Нам представляется, что первые математические доказательства были закономерным плодом общественного климата, при котором нахождение новой истины доставляло не только непосредственное удовлетворение, но и могло принести славу. Ведь ясно, что в этих условиях математические истины, подкрепленные доказательством, стали особенно привлекательным объектом поисков: нашедший безупречное доказательство, как правило, мог рассчитывать на признание, в то время как достижения в любой другой области знания, как правило, могли оспариваться.
Игнорируя тот факт, что доказательства Фалеса, какими бы недостаточно строгими с точки зрения последующего развития геометрии приемами он ни пользовался, представляют собой принципиально новый шаг по сравнению с восточной математикой, а математика пифагорейцев была дальнейшим развитием этих первых шагов, П. П. Гайденко приписывает арифмологическим спекуляциям пифагорейцев, периферийным для процесса развития математики, как бы они ни были важны для
самих пифагорейцев, невозможную роль посредствующего звена между рецептурной математикой Востока и греческой дедуктивной математикой.18 В действительности на рубеже между математическими познаниями Древнего Востока и греческой математикой стоят доказательства Фалеса.
С Пифагором и его школой связан уже следующий этап развития древнегреческой математики.19 Здесь необходимо со всей решительностью высказаться против весьма распространенной сейчас тенденции отрицать вообще всякие научные занятия Пифагора. Наиболее авторитетным представителем этой тенденции является Вальтер Буркерт с его книгой «Мудрость и наука в раннем пифагореизме».20
В условиях крайней ненадежности традиции, идущей от пифагорейской школы, исключительное значение приобретают немногие свидетельства, дошедшие до нас от современников Пифагора. Понятно, что особое внимание, в том числе и Буркерта, привлекает фрагмент Гераклита, который был младшим современником Пифагора:
πολυμαθίη νόον εχειν ού διδάσκει- Ησίοδο ν γαρ αν έδίδαξε και Πυθαγόρην αΰτίς τε Ξενοφάνεά τε και Έκαταίον — «Многознание ум иметь не учит: ибо (иначе) Гесиода оно научило бы и Пифагора и, опять-таки, Ксенофана и Гекатея» (22 В 40 DK).
Претензии Гераклита к этим четырем славным грекам достаточно ясны: все они не имеют разума, потому что не придерживаются его, единственно правильного, Гераклитова учения.21 Об этом говорит фрагмент В 41 и еще нагляднее фрагмент В 57, где Гераклит порицает Гесиода за то, что тот не знает, что день и ночь — одно и то же. Гораздо интерес-
нее, что всем четырем приписывается многознание — πολυμαθίη, и это давно смущает исследователей. О Пифагоре мы знаем мало достоверного, но знание Гесиода и знание Гекатея и Ксенофана нелегко свести к какой-то одной категории, что и вызывает трудности. Так, предпринимаются попытки внести в черный список Гераклита искусственное противопоставление, объединить Гесиода с Пифагором как носителей религиозного мировоззрения и противопоставить их эмпирикам Гекатею и Ксенофану; таким образом, Гераклиту приписывается полемика в двух направлениях.22
Ничего этого нет во фрагменте, а многознание прекрасно объединяет Гесиода с Гекатеем, а через него и с Ксенофаном. Мы должны помнить, что, хотя Гераклит во фрагментах 57 и 106 нападает соответственно на «Теогонию» и «Труды и дни», Гесиод для Гераклита отнюдь не исчерпывался этими сочинениями. В его времена никто не сомневался в принадлежности Гесиоду генеалогической поэмы «Каталог женщин», много превосходившей по объему обе дошедшие до нас поэмы. К такого рода поэзии Гераклит не мог относиться однозначно отрицательно — его род возводил свое происхождение к мифическому афинскому царю Кодру и через него к божеству. Именно это сочинение, приписываемое Гесиоду, было типичным образцом «многознания», очень близкого к многознанию Гекатея, проявившемуся, в частности, не только в его «Круге земли» (Γης περίοδος), но и в «Генеалогиях» (Γενεαλογίαι).
Таким образом, Гераклит вполне определенно приписывает Пифагору накопление многих знаний. Так как Гераклит с Пифагором не встречался, а Пифагор ничего не писал, источником для суждений о Пифагоре могли быть для Гераклита сочинения пифагорейцев, либо их устное преподавание для внешнего мира. Это раннепифагорейское учение должно было быть хорошо известно в Эфесе в первой половине V в. до н. э. — иначе невозможно объяснить во фрагменте Гераклита появление Пифагора рядом с Гесиодом, Ксенофаном и Гекатеем, сочинения которых были общедоступны.23
Таким образом, для самых ранних пифагорейских сочинений, наряду с религиозно-этическим содержанием, засвидетельствовано обилие каких-то конкретных сведений.24 Трудно предположить, что позднейшая
пифагорейская традиция, так разукрасившая деятельность Пифагора, забыла о какой-то области занятий ранних пифагорейцев. Многознание Пифагора должно относиться к математике, астрономии, акустике или, по крайней мере, к части этих областей знаний.
Разумеется, расшифровать, что кроется под этим многознанием, нелегко, но в области греческой математики у нас есть для этого некоторые возможности. Б. Л. Ван дер Варден недавно убедительно показал, что, по крайней мере, положения I, 1-12 и I, 22-23 «Начал» Евклида восходят к «Началам» Гиппократа Хиосского (около 440 г. до н. э.),25 а ряд теорем из этих разделов, в том числе и теоремы конгруэнтности, доказывались уже в анонимном сочинении пифагорейцев, которое должно было быть известно Евдему Родосскому. Ими были сформулированы также аксиомы 1-3 и 7-8 Евклида.26 Тот же Евдем прямо свидетельствует о занятиях Пифагора геометрией (fr. 133 Wehrli), и его свидетельство должно быть воспринято нами с полной серьезностью, так как он располагал несравненно лучшими источниками, чем мы сейчас.
Неубедительны попытки Ван дер Вардена свести роль Пифагора в истории математики к роли всего лишь посредника между вавилонской и раннегреческой математикой.27 Отмеченное О. Нейгебауером внутреннее родство между вавилонскими приемами решения квадратных уравнений и греческим приложением площадей28 бесспорно, но возникает вопрос, мог ли кто-либо до Декарта уловить это родство и тем более — осуществить еще в VI-V вв. до н. э. сознательный перевод с алгебраического языка на геометрический? Гораздо более естественным представляется здесь параллельное развитие.
Пифагорейский математический компендий, о котором мы только что говорили, должен был быть делом рук поколения, предшествовавшего Гиппократу Хиосскому, и, таким образом, должен быть отнесен
к первой половине V в. до н. э. Поколение Пифагора оказывается связующим звеном между первыми шагами Фалеса и систематическим построением пифагорейского учебника. Разумно ли думать, что во времена Пифагора над математическими проблемами работали только люди из его окружения, но не он сам, а ему все было только приписано?29 Весьма правдоподобно и то, что Пифагор впервые доказал теорему, носящую его имя,30 и значение этого доказательства не умаляется ни в коей мере возможностью в данном случае заимствования с Востока сведений о соответствующих численных соотношениях и правилах построений.31
Уже открытие несоизмеримых величин в пифагорейской школе в первой половине V в. до н. э., приписываемое традицией Гиппасу из Метапонта,32 было возможно лишь с помощью многоступенчатого доказательства, независимо от того, было ли сделано это открытие на диагонали квадрата или на правильном пятиугольнике, или совсем примитивным способом с помощью псефов — счетных камешков.33 Этим открытием греческая математика осуществила решительный разрыв с наивной очевидностью. Второе руководство по геометрии было создано Гиппократом Хиосским. Фрагменты, сохранившиеся от его трактата о квадрировании луночек, показывают, что свои «Начала» он построил уже как систему взаимосвязанных теорем,34 т. е. так, как около 300 г. до н. э. были построены и «Начала» Евклида.35
Религиозные новшества и политическая деятельность пифагорейцев относятся, собственно говоря, к политической истории и к истории религии. Здесь необходимо коснуться только того необычного контекста, в котором выступают перед нами научные занятия пифагорейцев. Соединение ролей пророка и государственного деятеля встречается при очень разнообразной структуре общества, и, в частности, оно не представляет собой редкости в эпоху реформ и переворотов, последовавшую на Восто-
ке вслед за распространением железа: ярчайшим примером такого совмещения ролей является, вероятно, Конфуций, но сюда относятся также Заратустра, ряд еврейских пророков, в известном смысле и царь Ашока и т. д.
Таким образом, если религиозное движение в Греции, характерными проявлениями которого были орфизм и мистериальные культы, действительно параллельно примерно одновременным переворотам «осевого времени» на Востоке, не приходится удивляться и появлению в русле этого движения пифагорейского союза с его сочетанием политической и религиозной деятельности. Также и причудливое сочетание возрожденных первобытных грубых суеверий (правую ногу нужно обувать раньше левой, кроме мяса, запрещаются в пищу еще и бобы и т. п.) с попытками нравственного очищения традиционной религии является для такого рода движений чуть ли не правилом.
Требующая объяснения загадка лежит также и не в сочетании религиозной веры или суеверия с научным исследованием. Разумеется, научное познание вообще возможно только потому, что в природе, а в известных, не легко поддающихся установлению границах и в общественной и в духовной жизни, царит закономерность. Однако вполне последовательное признание этой закономерности отнюдь не обязательно для научной деятельности: некоторые ученые исповедуют и сегодня религиозную веру в чудеса, другие допускают сверхъестественные воздействия духов через посредство спиритических медиумов. Что же касается различных форм убеждения в том, что всеобщая закономерность в природе исходит от более или менее антропоморфно мыслимого божества, то такого рода представления еще легче совместимы с развитием конкретных наук, как, в частности, показывает пример Аристотеля.
В действительности удивительно то, как Пифагор, с его твердым убеждением в том, что он и его союз должны принести людям наиважнейшее в их жизни — спасительную религию, все же находил в себе интерес и энергию для конкретных исследований в направлениях, не суливших очевидной пользы для достижения основной цели. Но дело не в личных качествах Пифагора и пифагорейцев. Только охарактеризованная выше духовная атмосфера, вызвавшая к жизни науку, могла толкнуть наделенные даром последовательного мышления головы на полный терниев путь исследования даже в тех случаях, когда ядро личности, как у Пифагора, было устремлено совсем к другим жизненным целям.
Однако, когда в замкнутой религиозной общине усердно практикуется какая-то деятельность, не имеющая прямого отношения к религии, эта деятельность обычно получает религиозную санкцию. Неудивительно поэтому, что Ямвлих приписывает Пифагору учение, согласно которому теоретическое знание оказывает на душу столь желанное Пифагору очистительное воздействие.36 Восходит ли это представление к самому Пифагору, мы не можем сказать из-за недостатка аутентичных источников. Однако приводимая Ямвлихом мотивация, вероятно, действовала уже на ранних пифагорейцев, а для платоновской Академии такого рода мотивация, во всяком случае, не вызывает сомнений.37 Ее отзвуки присутствуют также и в том обосновании предпочтительности созерцательной жизни, которое дает Аристотель (см. гл. III, § 2).
Религиозно-философское возведение на пьедестал математики, выделяющее ее среди прочих отраслей знания, принимает у Платона особую форму представления о врожденных идеях, которая отчетливее всего выступает в «Меноне» (81 с sqq.). Согласно этому учению, вся математика представляет собой лишь воспоминание о наивысших истинах, которые душа в ее более совершенном состоянии до рождения созерцала в мире идей. Прокл утверждает, что эта теория пифагорейская и восходит к самому Пифагору.38 Однако могло ли такое представление в самом деле благоприятствовать развитию математического мышления, остается под вопросом.
Так или иначе, математика оформилась в пифагорейской школе в пользующуюся дедуктивным методом систему знания, не отличающуюся в принципе от той, которая существует и развивается сейчас. Это, конечно, не означает, что взгляды греков на природу математического знания были аналогичны современным. Мы не находим у греков даже следов понимания того, что математика строит свои выводы исходя из более или менее произвольно выбранных систем аксиом. Греческая геометрия строилась на основе аксиом и постулатов, рассматривавшихся как непосредственно очевидные и непреложно истинные. Правила вывода, по-видимому, тоже воспринимались как единственно возможные.
Чрезвычайно интересно было бы, однако, узнать, воспринималась ли на самых первых шагах как абсолютно надежная только еще складывающаяся процедура доказательства. Общие соображения и наблюдения над школьниками, начинающими изучать геометрию, заставляют предполагать, что на первых порах должны были делаться попытки «проверить» правильность доказательства непосредственным измерением.
«Начала» Евклида беспредельно далеки от подобной наивности, но если такая практика действительно имела место, она могла иметь огромное значение в качестве мостика к геометрическим построениям с последующей проверкой в области астрономии, где именно такая процедура была залогом возникновения научных объяснений движения светил.
Именно такой наивный подход к геометрии как к науке, подлежащей проверке опытом, мог помочь объединению в рамках научного метода его третьей и четвертой основных составных частей — дедуктивного вывода из гипотезы проверяемых следствий и самой их проверки (ср. гл. III,§ 1).