Наша группа ВКОНТАКТЕ - Наш твиттер Follow antikoved on Twitter
219

§ 2. Греческая математика и формирование приемов логической аргументации

Как известно, сочинения Аристотеля, объединяемые под общим заглавием «Органон», излагают систематически приемы получения из имеющихся истинных положений новых истинных положений, не требующих дополнительной проверки. «Органон» дает настолько законченное исследование приемов логической аргументации, что дальнейшее развитие логики в Европе до второй половины XIX в. касалось частностей или вопросов интерпретации уже сделанного Аристотелем.39
Диоген Лаэртский сообщает нам, что Протагор «первый стал пользоваться в спорах доводами» (IX, 51), что должно означать, очевидно, изложение своей аргументации в более отчетливой форме, чем прежде, например, выделяя ее отдельные звенья и т. п. Аристотель утверждает, что Демокрит первый занялся определением понятий (fr. 99 Luria = 68 А 36 DK). Наконец, Зенона Элейского Аристотель считал изобретателем диалектики (fr. 65 Rose = D. L. VIII, 57) — образцом ее могут служить

39 Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика сточки зрения современной формальной логики. М., 1959; Субботин А. Л. Традиционная и современная формальная логика. М., 1969.
220

знаменитые апории Зенона, к которым Аристотель обращается неоднократно.
Разумеется, люди умели вполне логично делать выводы с незапамятных времен: в частности, для Греции мы имеем образцы довольно сложного умозаключения уже в гомеровских поэмах. Так, в Od. VIII, 159-165, когда Одиссей было отказался участвовать в состязаниях феаков, один из феаков — Евриал — высказывает предположение о том, что он торговец. Ход мыслей Евриала ясен, и его можно было бы представить в развернутом виде.
Две категории людей путешествуют по морю: воители и торговцы (те и другие занимаются и пиратством, но это здесь не существенно).
Одиссей прибыл по морю, следовательно, он либо воитель, либо купец.
Воители охотно участвуют в атлетических состязаниях, а Одиссей не желает в них участвовать. Следовательно, он не воитель, а купец.
Очевидно, что промежуточным звеном между стихийным умением правильно рассуждать и созданием Аристотелем теории логического вывода должна была явиться практика проведения развернутых рассуждений, построенных в виде цепочек силлогизмов, где уже были прямо высказаны принимаемые посылки, промежуточные этапы и конечный результат рассуждения. Примеры такого рода мы находим в изобилии у Платона и в сохранившихся фрагментах софистов.40
Однако впервые с рассуждением такого типа, т. е. с попыткой выразить в явном виде логическую операцию, мы встречаемся у Парменида. Поскольку Аристотель, как мы это только что отмечали, называл ученика и последователя Парменида Зенона изобретателем диалектики, подразумевая под ней именно ту форму оперирования философскими понятиями и суждениями, которую мы сейчас рассматриваем, приходится думать, что предпринимавшиеся Парменидом и развитые Зеноном попытки логической аргументации в явном виде в философских вопросах были их нововведением.41
Рассмотрим наиболее характерный в этом отношении фрагмент Парменида:

40 Stenzel J. Studien zur Entwicklung der Platonischen Dialektik von Sokrates zu Aristoteles. 2. Aufl. Leipzig, 1931; Robinson R. Plato's earlier dielectic. 2nd ed. Oxford, 1953.
41 Mansfeld J. Die Offenbarung des Parmenides und die menschliche Welt. Assen, 1964. S. 42 ff.; Jürss Fr. Zum Erkenntnisproblem bei den frühgriechischen Denkern. Berlin. 1976 S. 49 ff.
221

Так расскажу я тебе (внимательно выслушай слово),
Можно представить себе какие пути изысканья.
Первый путь: есть бытие, а небытия вовсе нету;
Здесь достоверности путь и к истине он приближает.
Путь же: есть небытие и небытие неизбежно,
Путь этот знанья не даст. Тебе я о том объявляю.
Небытия ни познать — непостижимо! — не сможешь,
Ни в слове выразить.
(28 В 2 DK; пер. М. А. Дынника)

Перед нами попытка построения дизъюнктивного силлогизма,42 аналогичного тому, каким совершенно свободно оперирует гомеровский герой, но только в явном виде. Выдвигаются два возможных утверждения: «есть бытие» или «есть небытие», и хотя утверждению «бытие есть» сразу приписывается истинность, но подкрепляется это немедленно ссылкой на ложность противоположного утверждения «небытие есть».
Заметим сразу же, что рассуждение Парменида, очевидно, неудовлетворительно. Во второй половине V в. до н. э. Демокрит разовьет свою онтологию, в соответствии с которой существует и бытие — атомы, и ничто, небытие — пустота. Вопрос о пустом пространстве и статусе понятия небытия дискутируется и сегодня физиками и философами, но совершенно очевидно, что эти вопросы не разрешимы путем дедуктивного рассуждения.
Неудовлетворительны, уже в силу несостоятельности самой идеи доказать невозможность движения, хотя и указывают на глубокие проблемы, апории ученика Парменида Зенона.
Неудовлетворительны доказательства Платона. Как это прекрасно показано в книге Робинсона, доказательства Платона подводят (притом не всегда логически безупречно) к весьма спорным философским выводам, опираясь на посылки, отнюдь не очевидные, но такие, спорность которых менее бросается в глаза, чем спорность выводов.43 Тем более это справедливо и в отношении облеченных в форму дедуктивных по-

42 Mansfeld. Ор. cit. S. 56 ff.; Parmenides. Vom Wesen des Seienden: Die Fragmente / Griechisch und Deutsch hrsg., übers, und erläut. von U. Ηölsсher. Frankfurt am Main. 1969. S. 83f.;Klowski J. 1) Zum Entstehen der logischen Argumentation //RhM. 1970. Bd. 113. S. 131 ff; 2) Parmenides' Grundlegung seiner Seinslehre// Ibid. 1977. Bd. 120. S. 97-137 (см. особенно: S. 98 ff); ср., однако: Heitsch E. [Rec.:] Jürss Fr. Zum Erkenntnisproblem bei den frühgriechischen Denkern. Berlin, 1976 // Gnomon. 1978. Bd. 50. H. 3. S. 301-304.
43 Robinson. Plato's earlier dielectic.
222

строений метафизических и теологических умозрений «Первооснов теологии» неоплатоника Прокла.
Вообще все сохранившиеся от античности логические доказательства (кроме математических рассуждений, о чем ниже) либо неудовлетворительны, так как не доказывают того, что требовалось, либо тривиальны, как, например, умозаключение, согласно которому из «Сократ — человек» и «Сократ — двуногий» следует, что «Сократ — двуногий человек» (Arist. De Interpret. 21 а 2-4). Это было подмечено уже в древности и вылилось в скептические нападки на логику, о которых мы узнаем прежде всего от Секста Эмпирика (Adv. math. VIII, 300 sqq.). В философии Нового времени эти нападки были высказаны в развернутой форме Фрэнсисом Бэконом в его «Новом органоне».
Любопытно, что в тех случаях, когда умозаключение действительно эффективно и приводит к обязательному выводу, оно, как и в давние времена, преподносится без всяких попыток продемонстрировать строгость вывода при помощи цепочки силлогизмов. Не будем говорить, допустим, о Фукидиде, который вообще не склонен к построению силлогизмов. Сам Платон не пускается в сложные рассуждения там, где возможен действительно закономерный вывод. «Тимей» начинается словами Сократа:

«Один, два, три — а где же четвертый из тех, что вчера были нашими гостями, любезный Тимей, а сегодня взялись нам устраивать трапезу?»
(17 а; пер. С. С. Аверинцева)

Сократ не говорит подробно: «Вчера вас было четверо, сегодня вас только трое, причем все вы были в числе вчерашних гостей, следовательно, из вчерашних гостей один, и только один, не явился». Бесспорное умозаключение, не относящееся к философии, преподнесено в виде энтимемы.
Мы сталкиваемся с парадоксальным положением. Умозаключения действительно правомерные предстают перед нами в традиционном виде энтимем, а умозаключения, исходящие из спорных посылок, и сплошь и рядом логически порочные, предлагаются в виде цепи силлогизмов, с использованием правил только еще возникающей логики.
Откуда это стремление доказывать недоказуемые вещи? Ведь у Парменида, Зенона и их эпигона Мелисса44 практически не было

44 Ср. справедливую критику Аристотеля (Soph. El. 167 b 13 sqq., 168 b 35 sqq 181 а 27-30; Phys. 185 а 32 sqq.).
223

последователей, а история платонизма показывает, что даже последователи Платона делались таковыми под влиянием каких угодно соображений, но только не потому, что признавали принудительную силу платоновских дедукций. Как могла система силлогистики развиться в Греции на совершенно непригодном материале и снова, и снова прилагаться к нему, несмотря на то, что неудачи следовали на каждом шагу?
Ответ подсказывает нам история философии. Анализ подобного рода попыток неоплатоника Прокла в его «Первоосновах теологии»,45 а затем, уже в Новое время, Декарта, Спинозы, Лейбница и его последователей и поисков критического преодоления тупика, предпринятых Кантом, приводит к однозначному выводу. Основным источником неистребимой веры в могущество дедуктивного метода в философии были блестящие результаты применения его в математике.
Видимо, эти соображения натолкнули ряд исследователей на мысль о том, что методы дедуктивного умозаключения сложились в древнегреческой математике и лишь оттуда, с весьма сомнительным успехом, были перенесены в область философских построений. Первым эту мысль высказал, по-видимому, Т. Гомперц.46 Аналогичные взгляды высказывали А. Рей, Ф. Корнфорд и Г. Чернис, математик К. Райдермайстер,47 однако никто из них не попытался обосновать эту мысль подробно. Фр. Сольмсен отвергает ее,48 а А. Сабо пытается доказать обратное — рождение силлогистики в элейской философии и заимствование ее методов рождающейся греческой математикой.49
Идею о возникновении доказательства от противного в сфере судебного красноречия и проникновении ее оттуда в философию элеатов, а затем уже в математику высказывал С. Я. Лурье.50 Решающую роль

45 Ср.: Michel. Ор. cit. Р. 87. — Проклу принадлежит также комментарий к I книге «Начал» Евклида.
46 Gomperz Th. Griechische Denker. 4. Aufl. Bd. 1. Berlin, 1922. S. 139.
47 Rey A. La jeunesse de la science grecque. Paris, 1933. P. 202-203; Cornford. Op. cit. P. 117; Cherniss. Characteristics and effects. P. 319 ff; Reidemeister. Op. cit. S. 10.
48 Solmsen F. Intel Icctual experiments of the Greek enlightenment. Princeton, 1975. Р. 18.
49 Сабо А. О превращении математики в дедуктивную науку и начале ее обоснования // Ист.-математ. исследов. Вып. 12. М., 1959. С. 321-392; Szabo А. 1) Anfänge der griechischen Mathematik. Budapest, 1969. S. 289 ff., 328 ff.; 2) Greek dialectic and Euclid's axiomatics // Problems in the philosophy of mathematics. Amsterdam, 1967.
50 Лурье. 1) Теория бесконечно малых. С. 160-162; 2) Архимед. С. 24.
224

в формировании приемов логической аргументации приписывает судебному и политическому красноречию ряд исследователей.51
Однако неэффективность любой дискурсивной аргументации во всех тех случаях, когда обсуждаемый вопрос небезразличен для аудитории (а именно так обстоит всегда дело в судебном и политическом красноречии), не составляет секрета для самих ораторов, подтверждается для нашего времени экспериментальными исследованиями,52 и уже греки отлично понимали, от чего в действительности зависит успех речи.
Греческая риторика со времен Корака и Тисия учила подбирать подходящие исходные положения, чтобы аргументировать, опираясь на них, в зависимости от задачи, стоящей перед выступающим с речью (PI. Phaedr. 273 a-b; Arist. Rhet. 1402 а 16 sqq.). Сам Аристотель, рекомендуя в «Риторике» апелляцию то к одним основополагающим принципам, то к другим, им противоположным, в зависимости от обстоятельств (1375 а 21 sqq.), по сути дела, признает, что логическая аргументация в человеческих делах может служить для подкрепления любой точки зрения.53
Постулировать формирование приемов логического доказательства в публичном красноречии — значит допускать, что люди научились манипулировать логикой раньше, чем применять ее там, где она дает нам подлинное обогащение нашего знания.
Склонность к спору, стремление привести как можно больше доводов в пользу своего мнения, стимулировавшееся формирующимся полисом, чаще всего демократическим, очевидно, не только были той основой, из которой возникло ораторское искусство и риторика,54 но и способствовали возникновению философии, математики и естествознания. Тем не мене специфическая дискурсивная форма аргументации не могла родиться ни в частной беседе, ни на агоре, ни в судилище.

51 Solmsen F. Die Entwicklung der aristotelischen Logik und Rhetorik. Berlin, 1929; Kapp E. l)Der Ursprung der Logik bei den Griechen. Göttingen, 1965; 2) Syllogistik// Kapp E. Ausgewählte Schriften. Berlin, 1968. S. 234-257; Vernant. Origines. P. 45 sv.
52 Eysenck H. L. Psychological defences against conclusive evidence//Br. J. Soc. 1951. Vol. 2-3.P. 189-209;Evans J. St. [e. a.] On the conflict between logic and belief in syllogistic reasoning// Memory and Cognition. 1983. Vol. 11. P. 295-306.
53 Ср.: Skemp J. B. Plato's statesman. London, 1952. P. 198; Guthrie. History. Vol. 3. P. 124-125.
54 Аристотель, видимо, не без основания связывал возникновение риторики с изгнанием тиранов в Сицилии (см.: Cic. Brut. 12, 46).
225

Ссылка Сабо на то, что попытки непрямого доказательства встречаются у Парменида, а затем и у Зенона, значительно раньше, чем доказательства от противного в греческой математике,55 ничего не доказывает, ибо она представляет собой argumentum ex silentio применительно к такому материалу, где этот аргумент не просто рискован, но явно недопустим. Наш материал не только фрагментарен, но он неравномерно представляет философию и математику. Первое полностью сохранившееся математическое сочинение — трактат Автолика из Питаны — относится к концу IV в. до н. э. Первые дошедшие до нас фрагменты математического содержания принадлежат Гиппократу Хиосскому (середина V в. до н. э.), и объем имеющихся в нашем распоряжении математических фрагментов V в. до н. э. в десятки раз меньше объема философских текстов VI-V вв. до н. э. В этих условиях не имеет никакого значения то, что непрямое математическое доказательство мы находим впервые во фрагменте Филолая (44 В 2 DK) — пифагорейца конца V в. до н. э.56
В действительности доказательства от противного использовались греческими математиками, начиная с первых же шагов геометрии, и мы можем в этом убедиться, анализируя наши сравнительно поздние источники, и прежде всего «Начала» Евклида. Как мы говорили выше, Ван дер Варден недавно показал, что особенности в формулировке теорем 1,1-12,22-23 указывают на то, что они восходят к «Началам» Гиппократа Хиосского, а ряд теорем из этих разделов, в том числе теоремы конгруэнтности, доказывались уже в анонимном пифагорейском геометрическом компендии (см. гл. V, § I).57
Обратим внимание на теорему, входившую, во всяком случае, в «Начала» Гиппократа Хиосского, которая гласит: «Если в треугольнике два угла равны между собой, то будут равны и стороны, стягивающие равные углы» (1,6). Перед нами теорема, обратная доказанной Фалесом теореме о равенстве углов в равнобедренном треугольнике. Так как истинность и прямой и обратной теоремы наглядно очевидна, потребность в доказательстве обратной должна была появиться сразу же после доказательства Фалесом прямой теоремы.

55 Szabό. Anfange. S. 289 ff., 328 ff.
56 Э. Франк пытался оспаривать подлинность этого фрагмента, ссылаясь на то, что такие приемы доказательства восходят к диалектике Платона (Frank. Ор. cit. S. 306).
57 Van der Waerden. Postulate und Konstruktionen.
226

Этой ранней потребности отвечает и ранняя возможность такого доказательства. Доказательство, которое приводит Евклид, использует, кроме очевидных аксиом и приемов построения, еще только одну теорему — теорему о равенстве треугольников при условии равенства угла и двух прилежащих к нему сторон. Теоремы такого типа реконструируются Ван дер Варденом уже для раннего пифагорейского компендиума, а относительно другой теоремы о равенстве треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) нам известно, что ее доказал уже Фалес.
Следовательно, теорема I, 6 «Начал» принадлежит к числу тех, для доказательства которых были возможности уже в первом или во втором поколении геометров, и поиски доказательства должны были начаться сразу после доказательства прямой теоремы Фалесом. Между тем эта теорема, принадлежащая к первому этапу формирования геометрии, доказывается у Евклида не прямым способом, а способом от противного.58
До нас не дошло других античных доказательств предложения I, 6, да и само требование доказательства этой и других, столь же элементарных теорем прямым путем было бы подлинным ударом по геометрии, потребовав введения в ясном или неявном виде дополнительных аксиом (такая операция была проделана в XVII в. Озанамом). О такого рода кризисе мы бы что-то знали, так что, судя по всему, доказательство, приводимое Евклидом, является достоянием греческой геометрии с момента ее становления59 и может служить примером доказательств от противного, под влиянием которых Парменид мог решиться на попытку перенести соответствующие приемы на решение философских вопросов.60
Сабо не прав, когда пытается доказать, что общие термины, связанные с математическими доказательствами, восходят к философской диалектике. Для терминов αίτημα, αξίωμα, όμολόγημα (постулат, аксиома, соглашение) мы можем с одинаковым успехом предполагать происхождение и из философской беседы, и из преподавания математики,

58 Предложение I. 26 «Начал», которое Евдем приписывает Фалесу (fr. 134 Wehrli), доказывается, как и I. 6, от противного.
59 Цейтен вслед за Ханкелем был готов приписать введение в математику апагогических доказательств непосредственно Пифагору (Zeuthen Η. G. Sur l'origine historique de la connaissance des quantites irrationnelles// Oversigt over det Kgl. Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger. 1915. P. 333-362; см.: Р. 357).
60 См. также: Zhmud'. Op. cit. P. 252 ff.
227

ибо о формировании такого рода терминов в условиях преподавания математики с учетом точки зрения обучающегося прямо свидетельствует Аристотель (An. Post. 76 b 25 sqq.).61 Что же касается термина θεώρημα (букв. «видимое»), то его значение в математике явно восходит к наглядности геометрического доказательства, пользующегося чертежом, а не к философской диалектике. В результате оказывается более правдоподобным и внутриматематическое развитие в термины слов αίτημα, αξίωμα62 и όμολόγημα.
Знакомство Парменида с учениями Пифагора и ранних пифагорейцев не может оспариваться, хотя относительно их влияния на основные его идеи существуют разные мнения.63 Преемственность по отношению к раннему пифагорейству принимается и нашей биографической традицией о Пармениде (D. L. IX, 21). Таким образом, у нас нет оснований считать неправдоподобным влияние на Парменида приемов доказательства, употреблявшихся в раннепифагорейской математике.
От элеатов до Аристотеля магистральная линия совершенствования приемов логической аргументации проходила через софистов, Сократа и Платона. Влияние на Платона современной ему математики общеизвестно, в то время как его влияние на математику проблематично.64 Мы сейчас приведем данные о связи большинства известных нам софистов с развитием математики их времени и попытаемся показать, что в тех случаях, когда материал дает какую-то возможность судить о направлении влияний, они ведут от математики к софистам.
Протагор, возражая против определения касательной, предложенного математиками, доказывал, что она касается окружности не в одной

61 Cp.:Stenius. Ор. cit. Р. 273, 283 f.
62 Аристотель прямо говорит о τά έν τοις μαθήμασι καλούμενα αξιώματα («так называемых аксиомах в математике» (Met. 1005 а 20), возводя, таким образом, философское понятието αξίωμα к математическому (Jaeger. Paideia. Bd. 3. S. 314). Йегер считает также, что в пользу математического происхождения философского значения слова то αξίωμα говорит и точная нумерация «аксиом» власти и подчинения в «Законах» Платона (690 а-с).
63 См.: Raven J. Ε. Pythagoreans and Eleatics. Cambridge. 1948; Reich K. Parmenides und die Pythagoreer// Hermes. 1954. Bd. 82. S. 287 ff.
64 Brumbaugh R. S. Plato'smathematical imagination. Bloomington. 1954; Solmsen F. Piatos Einfluß auf die Bildung der mathematischen Methode //Q&S. 1929. Bd. l.S. 93 ff. — Математическое происхождение применяемого Платоном приема рассуждения έξ υποθέσεως («исходя из допущения») принимает, в частности, Йегер (Jaeger. Paideia. Bd. 3. S. 155).
228

точке (68 В 7 DK) ;65 возможно, он выдвигал аналогичное утверждение и относительно шара и плоскости (Sext. Emp. Adv. math. III, 27).60 Трудно сказать, насколько широко занимался Протагор такого рода вопросами. Т. Гомперц предполагал, что он систематически рассматривал математические понятия,67 а Вильгельм Нестле считал, что мы имеем здесь дело с единичным критическим выпадом Протагора.68
Платон в «Протагоре» (318 е) заставляет Протагора высказывать неодобрение в адрес тех, кто учит юношей счету, астрономии, геометрии и музыке, взглянув при этом на Гиппия. Похоже, что полемика с теми, кто писал по этим отраслям знания, могла занимать заметное место в сочинениях Протагора. Во всяком случае, из того, как Платон говорит в «Теэтете» (152 а, 153 c-d, 161 b, 164 е, 169 а, 183 b-с) о содружестве с Протагором математика Феодора Киренского и об его ученичестве у Протагора, никак не следует, что Протагор учил его математике.69
О софисте Гиппии мы уже говорили, что он был автором древнейшего доксографического сочинения (см. гл. V, § 1). В этом сочинении он уделил место и древнейшим математикам, упомянув, во всяком случае Фалеса и Мамерка, брата поэта Стесихора (fr. 133 Wehrli = 86 В 12). У нас нет возможности судить о том, насколько серьезны и оригинальны были занятия Гиппия астрономией (86 А 11; В 13 DK), в области же математики ему приписывают выдающееся достижение — введение так называемой квадратрисы (кривой второго порядка), с помощью которой он решил задачу деления угла на три и вообще на любое число равных частей (86 В 21 DK).70 Связи Гиппия с Великой Грецией и Сицилией

65 Gomperz Th. Griechische Denker. Bd. 1. S. 376 ff. —Этим занимался также Демокрит (Лурье. Теория бесконечно малых. С. 38-40).
66 См.: Appelt О. Beiträge zur Geschichte der griechischen Philosophie. Leipzig, 1899. S. 263; Лурье. Теория бесконечно малых. С. 39-40; ср., однако: Plut. De comm. not. 40, 1 = Mor. 1081 В, где сходные рассуждения восходят, согласно Лурье, к академическому источнику.
67 Gomperz Th. Griechische Denker. Bd. 1. S. 365.
68 Nestle. Mythos. S. 302.
69 Vogt H. Die Entdeckungsgeschichte des Irrationalen nach Plato und anderen Quellen des 4. Jh.s // Bibl. Math. 1909-1910. Bd. 10. S. 129 ff.; Лурье. Теория бесконечно малых. С. 38. Прим. 39.
70 Tannery Р. Pour l'histoire des lignes et surfaces courbes// Tannery P. Memoires scientifiques. T. 2. Toulouse; Paris, 1912.Р. 1-47(см.:Р. l-9);Heiberg J. L.Naturwissenschaften und Mathematik im klassischen Altertum. Berlin, 1912. S. 22; Björnbo. Hippias (13)// RE. 1913. Bd. 8. Sp. 1707-1711; Frank. Op. cit. S. 205, 236. Это мнение давно оспаривали, в частности, Дильс считал сомнительным фрагмент В 21.
229

позволяют думать о прямом влиянии на него пифагорейской математики.71
Математикой занимался также софист Антифонт, которому наши источники приписывают попытку нахождения квадратуры круга как предела площади вписанного многоугольника при возрастании числа сторон (87 В 13 DK), характеризуемую Аристотелем как эристическая (Arist. Soph. El. 172 а 7 sqq.; Phys. 185 а 17 sqq.).72 Вскоре после публикации папирусных отрывков Антифонта Г. Дильс отметил влияние математических занятий Антифонта на форму изложения в его философском сочинении Αλήθεια («Истина»), сопоставляя ее с манерой Спинозы и Гоббса.73 Любопытнее всего то, что напоминающие по форме изложения математика места из речи Антифонта «Об убийстве Герода» (§ 43-44, § 57-59) отмечает С. Я. Лурье, категорически отвергающий возможность тождественности автора этой речи оратора и политического деятеля Антифонта из Рамнунта с Антифонтом-софистом.74
Влияние математической терминологии заметно и у софиста Алкидаманта (Soph. 23 = ν. 2, р. 164 Baiter-Sauppe).75 На какие-то попытки использовать для построения софизмов математические термины намекает, по-видимому, Аристотель, указывающий на то, что эпический цикл отнюдь не является геометрической фигурой (An. Post. 77 b 32). Кеней (персонаж комедии Антифана?), по словам Аристотеля, заявляет, что огонь разрастается быстро, и геометрическая прогрессия разрастается быстро, следовательно, огонь разрастается в геометрической прогрессии (ibid. 77 b 43 - 78 а 5). Здесь перед нами, очевидно, пародия на софистов, злоупотребляющих математическими аналогиями.
В сущности, нам не следует удивляться размаху и глубине влияния греческой математики на различные сферы знания и культуры в условиях, когда даже Аристотель, сам не испытывавший внутреннего тяготе-

71 Nestle. Mythos. S. 366.
72 Rudio F. Der Bericht des Simplicius über die Quadratur des Antiphon und Hippokrates. Berlin, 1907. S. 11; см. далее: Лурье. Теория бесконечно малых. С. 140-157; Cherniss Η. Aristotle's criticism of Presocratic philosophy. Baltimore, 1935. P. 340.
73 Diels H. Ein antikes System des Naturrechts//IM. 1917. Bd. 11. S. 82-102(см.: S. 99).
74 Лурье. Антифонт; Luria S. Antiphon der Sophist//Eos. 1963. T. 53. S. 63-67; ср., однако: Morrison J. S. 1) Antiphon// PCPhS. 1961. Vol. 7. P. 49-58; 2) The «Truth» of Antiphon // Phronesis. 1963. P. 35-49.
75 См.: Franciosi F. Die Entdeckung der mathematischen Irrationalität // AAntHung. 1976. T. 24. P. 183-203 (см.: Р. 198).
230

ния к математике, признавал, что «из всех вещей, которыми занимались люди, доказательства существовали только в математике».76

76 См.: Iambl. De comm. math. sc., р. 78, 8 f. Festa. Буркерт убедительно показал, что эта формулировка восходит к Аристотелю (Burkert. Lore and science. Р. 447 f.).

Подготовлено по изданию:

Зайцев А. И.
Культурный переворот в Древней Греции VIII—V вв. до н. э./ Под ред. Л. Я. Жмудя. 2-е изд., испр. и перераб. — СПб.: Филологический факультет СПбГУ, 2000. — 320 с.
ISBN 5-8465-0015-3
© А. И. Зайцев и наследники, 2000.
© Л. Я. Жмудь. Вступительная статья, составление, перевод, 2000
© Филологический факультет СПбГУ, 2000.



Rambler's Top100